H θερμοκρασία των μαύρων τρυπών με απλή φυσική By physicsgg on 10/11/2025

Η σημαντικότερη ανακάλυψη του βρετανικού φυσικού Στίβεν Χόκινγκ ήταν ότι «οι μαύρες τρύπες δεν είναι και τόσο μαύρες», καθώς εκπέμπουν θερμική ακτινοβολία σαν να ήταν θερμά σώματα, με απόλυτη θερμοκρασία που υπολογίζεται από μια εξίσωση γνωστή ως θερμοκρασία Hawking: T=\frac{\hbar \, c^{3}}{8 \pi G \, M \, k} \textbf{(1)}, η οποία εκτός από τη μάζα της μαύρης τρύπας M, περιέχει μόνο θεμελιώδεις φυσικές σταθερές: τη σταθερά του Planck ℏ=h/2π, τη σταθερά παγκόσμιας έλξης G, την ταχύτητα του φωτός στο κενό c και την σταθερά του σταθερά του Boltzmann k. Παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας είναι αντιστρόφως ανάλογη με την μάζα της – όσο μικραίνει η μάζα της μαύρης τρύπας η θερμοκρασία της αυξάνεται. Η λεπτομερής απόδειξη της θερμοκρασίας Hawking απαιτεί προχωρημένες γνώσεις φυσικής και μαθηματικών. Μια εναλλακτική απλοποιημένη μέθοδος «απόδειξης» της εξ. (1) είναι η αναφορά στις κβαντικές διακυμάνσεις του κενού κοντά στον ορίζοντα των γεγονότων της μαύρης τρύπας. Πρόκειται για τη μέθοδο που χρησιμοποίησε ο ίδιος ο Χόκινγκ σε εκλαϊκευτικά βιβλία και ομιλίες(*). «Πώς όμως συνειδητοποίησε ο Χώκινγκ ότι, παρόλο που τίποτε δεν μπορεί να διαφύγει από τον ορίζοντα γεγονότων, ούτε καν το φως, μια μαύρη τρύπα μπορεί να εκπέμπει θερμότητα, σε πείσμα αυτής της αρχής; Η απάντηση βρίσκεται στο ότι ο Χώκινγκ αποφάσισε να διερευνήσει τον ορίζοντα γεγονότων υπό το πρίσμα της κβαντικής θεωρίας. Εκείνη την εποχή οι περισσότεροι φυσικοί θεωρούσαν ότι οι μαύρες τρύπες, αυτά τα υπερμαζικά κοσμολογικά σώματα που υπακούν στις αρχές της γενικής σχετικότητας, δεν είχαν ιδιαίτερη σχέση με την κβαντική θεωρία. Άλλωστε, η κβαντική θεωρία είναι ένας οδηγός προς τον μικρόκοσμο στο εσωτερικό του ατόμου. Ωστόσο, ο Χώκινγκ είχε ένα προαίσθημα, το οποίο κατά ένα μέρος το είχαν εμπνεύσει και οι συζητήσεις του στη Μόσχα (τον Σεπτέμβριο του 1973 με τους Ζέλντοβιτς και Σταρομπίνσκι), ότι αν μελετούσε από κβαντική σκοπιά το κενό στο εσωτερικό και στον περιβάλλοντα χώρο του ορίζοντα γεγονότων, θα προέκυπτε κάτι ενδιαφέρον. Ο ακριβής συλλογισμός του Χώκινγκ είναι περίπλοκος. Για να κατανοήσουμε όμως, έστω διαισθητικά, τι έκανε, πρέπει να αναλογιστούμε μία από τις πιο αλλόκοτες συνέπειες της περίφημης «αρχής της αβεβαιότητας» της κβαντικής φυσικής — αυτού που είναι γνωστό ως «ενέργεια κενού». Όπως υπονοείται και από τον όρο, το κενό είναι κάθε άλλο παρά αδρανές — σφύζει από δραστηριότητα. Ανά πάσα στιγμή εμφανίζονται από το πουθενά ριπές ενέργειας, οι οποίες δανείζονται ισοδύναμες ριπές ενέργειας από μια εξαιρετικά σύντομη στιγμή στο μέλλον. Τις περισσότερες φορές δεν αντιλαμβανόμαστε αυτές τις διακυμάνσεις επειδή η θετική ριπή ενέργειας που εμφανίζεται τη μια στιγμή αντισταθμίζεται από την αρνητική ριπή που ακολουθεί αμέσως μετά. Η αρνητική ενέργεια μπορεί να είναι παράξενη έννοια, αλλά υπάρχει! Αυτές οι ριπές ενέργειας παίρνουν πολλές μορφές. Μπορεί να εκδηλωθούν ως σωματίδια, όπως τα ηλεκτρόνια και τα ποζιτρόνια, ή ως φωτόνια ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Ο Χώκινγκ υπέθεσε ότι πάνω και ακριβώς έξω από τον ορίζοντα γεγονότων της μαύρης τρύπας αυτή η αντιστάθμιση διαταράσσεται. Η τεράστια καμπυλότητα του χώρου και του χρόνου σε αυτό το σημείο συνεπάγεται ότι ένα μέρος της αρνητικής ενέργειας που δημιουργείται αποσπάται από τη θετική ενέργεια την οποία κανονικά θα εξουδετέρωνε. Αυτή η θετική ενέργεια που παραμένει μπορεί να ακτινοβοληθεί από τη μαύρη τρύπα. Η αρνητική ενέργεια πέφτει μέσα στη μαύρη τρύπα. Και, καθώς είναι αρνητική ενέργεια, έχει το αποτέλεσμα να μειώνει τη μάζα της μαύρης τρύπας. Σε έναν εξωτερικό παρατηρητή φαίνεται σαν η μαύρη τρύπα να «εξαχνώνεται» και να συρρικνώνεται σιγά σιγά καθώς εκπέμπει ενέργεια – αυτή η ενέργεια αναφέρεται ως «ακτινοβολία Χώκινγκ». Το εξαιρετικά αξιοσημείωτο με τους υπολογισμούς του Χώκινγκ ήταν ότι χάρη σε αυτούς μπόρεσε να προβλέψει τη θερμοκρασία αυτής της ακτινοβολίας που εκλύεται από τον ορίζοντα γεγονότων. Είναι συνήθως πολύ χαμηλή, ένα μικρό κλάσμα του βαθμού πάνω από το απόλυτο μηδέν.( …) απόσπασμα από το βιβλίο «ΤΟ ΨΥΓΕΙΟ ΤΟΥ ΑΪΝΣΤΑΪΝ, Το ζεστό, το κρύο και η σημασία τους για το σύμπαν», Πωλ Σεν, Μετάφραση: Παναγιώτης Δρεπανιώτης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2025 Υπενθυμίζεται ότι ο ορίζοντας γεγονότων είναι η σφαιρική περιοχή που καθορίζει το μέγεθος της μαύρης τρύπας και στην περίπτωση μιας στατικής μαύρης τρύπας, έχει χαρακτηριστική ακτίνα που ονομάζεται ακτίνα Schwarzschild και δίνεται από την εξίσωση: R_{S}=\frac{2GM}{c^2} , όπου Μ είναι η μάζα της μαύρης τρύπας, G η σταθερά βαρυτικής έλξης και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Επιπλέον, οι κβαντικές διακυμάνσεις κοντά στον ορίζοντα των γεγονότων προκύπτουν από την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, σύμφωνα με την οποία η μικρότερη τιμή του γινομένου της αβεβαιότητας στην ενέργεια ΔE επί την διάρκεια Δt του φαινομένου θα είναι: \Delta E\,\Delta t = \hbar/2 . Αν η ενέργεια του κενού ήταν συνεχώς ακριβώς ίση με μηδέν (ΔE=0), τότε θα έπρεπε και ℏ=0, κάτι που δεν ισχύει. Επομένως το κενό δεν μπορεί να είναι «τέλειο», και πρέπει να εμφανίζει κβαντικές διακυμάνεις, παράγοντας στιγμιαία εικονικά σωματίδια που εξαφανίζονται μετά από χρoνικό διάστημα \Delta t = \hbar / 2\Delta E. Αυτά τα σωματίδια δεν παραβιάζουν την αρχή διατήρησης της ενέργειας, αφού η ύπαρξή τους είναι στιγμιαία και καλύπτεται από τη σχέση αβεβαιότητας. Επειδή όμως το ηλεκτρικό φορτίο είναι επίσης διατηρούμενο μέγεθος, αλλά δεν καλύπτεται από την αρχή της αβεβαιότητας, οι εικονικές διακυμάνσεις εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη σωματιδίου–αντισωματιδίου με συνολικό φορτίο μηδέν· π.χ. ηλεκτρόνιο και ποζιτρόνιο. Επειδή η ταχύτητα του φωτός c είναι η μέγιστη επιτρεπτή ταχύτητα, προκύπτει ότι η αβεβαιότητα στη θέση Δx δεν μπορεί να είναι μικρότερη από c \Delta t, έτσι ώστε \Delta x = c \Delta t \sim \dfrac{c \hbar}{E} \textbf{(2)}. Οι κβαντικές διακυμάνσεις κοντά στον ορίζοντα μπορούν να καταλήξουν, εκτός από την φυσιολογική εξαφάνιση των εικονικών σωματιδίων, και σε διαχωρισμό του ζεύγους: το ένα να πέφτει μέσα στη μαύρη τρύπα με αρνητική ενέργεια, ενώ το άλλο διαφεύγει ως πραγματικό σωματίδιο με θετική ενέργεια, διατηρώντας τη συνολική ενέργεια. Ένας απομακρυσμένος παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα εκπεμπόμενα αυτά σωματίδια ως θερμική ακτινοβολία με θερμοκρασία που δίνεται από την εξίσωση (1). Για έναν απομακρυσμένο παρατηρητή, η επίδραση των κβαντικών διακυμάνσεων κοντά στον ορίζοντα γίνεται αντιληπτή ως θερμική ακτινοβολία με θερμοκρασία TH Ας ξεκινήσουμε με ένα ζεύγος σωματιδίων που απέχουν απόσταση r από το κέντρο ενός σφαιρικού ουράνιου σώματος μάζας M και διαχωρίζονται σε απόσταση όπου l≪r μεταξύ τους. Σε κάθε σωματίδιο ασκείται δύναμη: F_{-} = \frac{GMm}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^{2}} και F_{+} = \frac{GMm}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^{2}}. Η διαφορά των μέτρων δυνάμεων είναι: F_{\text{tidal}} = F_{-} - F_{+} \approx \frac{2GMm\,l}{r^{3}}, για l≪r . Αυτή η διαφορά που οφείλεται στην ανομοιογένεια του βαρυτικού πεδίου είναι ανάλογη με την διαφορά των μέτρων των επιταχύνσεων που αποκτά το κάθε σωματίδιο που τείνει να τα διαχωρίσει. Η ενέργεια που απαιτείται για να διαχωριστούν τα δυο σωματίδια σε απόσταση l μπορεί να εκφραστεί ως: W=F_{\text{tidal}} l \approx \frac{2GMm\,l^{2}}{r^{3}}. Αν θέσουμε όπου r την ακτίνα Schwarzschild R_{S}=\frac{2GM}{c^2} και m \sim E/c^{2} από την ισοδυναμία μάζας-ενέργειας του Αϊνστάιν, παίρνουμε: W \sim \dfrac{E c^4 l^2}{G^2 M^2} l^{2} \textbf{(3)} Θεωρούμε, σύμφωνα με την εξ. (2), ότι η απόσταση στην οποία μπορούν να διαχωριστούν δύο εικονικά σωματίδια είναι l \sim \hbar c / E και επιπλέον ότι W \sim E. Με αυτές τις συνθήκες η εξ. (3) γράφεται ως E \sim c^6 \hbar^2 / (G^2 M^2 E) και επιλύοντας ως προς E έχουμε: E \sim \dfrac{\hbar c^3}{G M} \textbf{(4)}. Αλλά τα σωματίδια της ακτινοβολίας Hawking είναι θερμικά, επομένως η ενέργειά τους θα είναι E \sim kT, όπου T είναι η απόλυτη θερμοκρασία και k=η σταθερά του Boltzmann. Χρησιμοποιώντας την εξ. (4) προκύπτει η εξ. (1) που εκφράζει την θερμοκρασία Hawking: T \sim \dfrac{\hbar c^3}{k G M} , χωρίς τον αριθμητικό παράγοντα 1/8π. Η θερμοκρασία Hawking έχει αναγνωριστεί ως μία από τις σημαντικότερες επιστημονικές ανακαλύψεις του 20ού αιώνα και αποτελεί καθοριστικό βήμα για την κατανόηση του σύμπαντος. πηγή: https://arxiv.org/abs/2510.21790 (*) Η συνήθης ερμηνεία της ακτινοβολίας Hawking μέσω των «εικονικών ζευγών σωματιδίων» είναι λανθασμένη επειδή παρουσιάζει τα εικονικά σωματίδια ως πραγματικά διαχωρίσιμα σωματίδια και δεν εξηγεί με ακρίβεια τον τρόπο διατήρησης της ενέργειας και την απώλεια μάζας της μαύρης τρύπας.. Μπορεί και ο ίδιος ο Hawking να χρησιμοποίησε αυτή την εκλαϊκευτική εικόνα, στις εξειδικευμένες δημοσιεύσεις του όμως εξήγησε την ακτινοβολία χρησιμοποιώντας την κβαντική θεωρία πεδίου σε καμπύλο χωροχρόνο. Κοινοποιήστε:

Βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2025 By physicsgg on 06/10/2025 •

Αρχική › ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ › Βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2025 Βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2025 By physicsgg on 06/10/2025 • ( 0 ) (νεώτερη ενημέρωση) Το βραβείο Νόμπελ 2025 στην Φυσική απονεμήθηκε στους John Clarke, Michel H. Devoret και John M. Martinis «για την ανακάλυψη του μακροσκοπικού φαινομένου κβαντομηχανικής σήραγγας (macroscopic quantum tunnelling) και της κβάντωσης ενέργειας σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα» Οι βραβευθέντες χρησιμοποίησαν μια σειρά πειραμάτων για να δείξουν ότι οι παράξενες ιδιότητες του κβαντικού κόσμου μπορούν να εκδηλωθούν σε μακροσκοπικά συστήματα. Το ηλεκτρικό ρεύμα (χιλιάδων ή εκατομμυρίων ηλεκτρονίων) μπορεί να διαπερνά φράγματα δυναμικού με τρόπο που δεν επιτρέπεται κλασσικά, παρόμοια με το γνωστό κβαντομηχανικό φαινόμενο σήραγγας. Έδειξαν επίσης ότι αυτά τα μακροσκοπικά συστήματα απορροφούσαν και απέδιδαν την ενέργεια κβαντισμένα. όπως προβλέπει η κβαντομηχανική για τα άτομα. Τα πειράματά τους σε ένα τσιπ αποκάλυψαν την κβαντική φυσική σε δράση Ένα βασικό ερώτημα στη φυσική είναι το μέγιστο μέγεθος ενός συστήματος που μπορεί να εμφανίσει κβαντομηχανικά φαινόμενα. Οι βραβευθέντες με το Νόμπελ Φυσικής 2025, διεξήγαγαν πειράματα με ένα ηλεκτρικό κύκλωμα στα οποία επέδειξαν τόσο το κβαντομηχανικό φαινόμενο σήραγγας όσο και την κβάντωσης της ενέργειας σε ένα αρκετά μεγάλο και χειροπιαστό σύστημα. Η κβαντομηχανική επιτρέπει σε ένα σωματίδιο να κινείται κατευθείαν μέσα από ένα φράγμα, διαμέσου του φαινομένου σήραγγας. Όταν όμως εμπλέκεται μεγάλος αριθμός σωματιδίων, τα κβαντομηχανικά φαινόμενα συνήθως γίνονται αμελητέα. Τα πειράματα των βραβευμένων απέδειξαν ότι οι κβαντομηχανικές ιδιότητες μπορούν να εκδηλωθούν σε μακροσκοπική κλίμακα. John Clarke, Michel H. Devoret και John M. Martinis Το 1984 και το 1985, οι John Clarke , Michel H. Devoret και John M. Martinis διεξήγαγαν μια σειρά πειραμάτων με ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα κατασκευασμένο από υπεραγωγούς, οι οποίοι άγουν το ρεύμα χωρίς να εμφανίζουν ηλεκτρική αντίσταση. Στο κύκλωμα, τα υπεραγώγιμα στοιχεία διαχωρίζονταν από ένα λεπτό στρώμα μονωτικού υλικού, μια διάταξη γνωστή ως επαφή Josephson. Βελτιώνοντας και μετρώντας τις διάφορες ιδιότητες του κυκλώματός τους, κατάφεραν να ελέγξουν και να εξερευνήσουν τα φαινόμενα που προέκυπταν όταν διοχέτευαν ρεύμα σε αυτό. Συνολικά, τα φορτισμένα σωματίδια που κινούνταν στον υπεραγωγό αποτελούσαν ένα σύστημα που συμπεριφερόταν σαν να ήταν ένα ενιαίο σωματίδιο που καταλάμβανε ολόκληρο το κύκλωμα. Αυτό το μακροσκοπικό- σαν σωματίδιο – σύστημα βρίσκεται αρχικά σε μια κατάσταση στην οποία το ρεύμα ρέει χωρίς τάση. Το σύστημα είναι παγιδευμένο σ’ αυτήν την κατάσταση, σαν να βρίσκεται πίσω από ένα εμπόδιο που δεν μπορεί να διασχίσει. Στο πείραμα, το σύστημα δείχνει τον κβαντικό του χαρακτήρα καταφέρνοντας να ξεφύγει από την κατάσταση μηδενικής τάσης μέσω σήραγγας. Η αλλαγή της κατάστασής του ανιχνεύεται μέσω της εμφάνισης μιας τάσης. Οι βραβευθέντες κατάφεραν επίσης να αποδείξουν ότι το σύστημα συμπεριφέρεται με τον τρόπο που προβλέπεται από την κβαντομηχανική – είναι κβαντισμένο, που σημαίνει ότι απορροφά ή εκπέμπει μόνο συγκεκριμένα ποσά ενέργειας. «Είναι υπέροχο που μπορούμε να γιορτάσουμε το γεγονός ότι η κβαντομηχανική, παρότι συμπληρώνει έναν αιώνα, συνεχίζει να μας εκπλήσσει. Είναι επίσης εξαιρετικά χρήσιμη, δεδομένου ότι αποτελεί τη βάση κάθε ψηφιακής τεχνολογίας», δήλωσε ο Olle Eriksson, Πρόεδρος της Επιτροπής Νόμπελ Φυσικής. Τα τρανζίστορ στα μικροτσίπ υπολογιστών είναι ένα παράδειγμα της καθιερωμένης κβαντικής τεχνολογίας που μας περιβάλλει. Το φετινό βραβείο Νόμπελ Φυσική ανοίγει δρόμους για την ανάπτυξη της επόμενης γενιάς κβαντικής τεχνολογίας, που περιλαμβάνει την κβαντική κρυπτογραφία, τους κβαντικούς υπολογιστές και τους κβαντικούς αισθητήρες. διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: 1. Popular science background: Quantum properties on a human scale (pdf) 2. Scientific background to the Nobel Prize in Physics 2025 (pdf)

Σήμερα η Γη θα ζήσει μία από τις μικρότερες ημέρες της ιστορίας της

Ηανθρωπότητα αναμένεται να ζήσει σήμερα μία από τις πιο σύντομες ημέρες που έχουν καταγραφεί ποτέ, καθώς η Γη θα ολοκληρώσει μια πλήρη περιστροφή της ελαφρώς γρηγορότερα από το σύνηθες. Η περιστροφή θα διαρκέσει μόλις 1,34 χιλιοστά του δευτερολέπτου λιγότερο από τις 24 ώρες. Η χρονική αυτή διαφορά δεν θα γίνει προφανώς αισθητή, ωστόσο πρόκειται για μια αινιγματική τάση στην περιστροφική συμπεριφορά της Γης που εκτυλίσσεται τα τελευταία χρόνια. σήμερα-η-γη-θα-ζήσει-μία-από-τις-μικρότε-563586073 Aστρικό εκκολαπτήριο στην «κοσμική αυλή» της Γης Αν συνεχιστεί, ίσως χρειαστεί να αφαιρεθεί ένα δευτερόλεπτο από τα ατομικά ρολόγια γύρω στο 2029 – ένα λεγόμενο αρνητικό εμβόλιμο δευτερόλεπτο (negative leap second), κάτι το το οποίο δεν έχει συμβεί ποτέ ξανά στο παρελθόν. Η ταχύτητα περιστροφής της Γης δεν είναι σταθερή. Πριν από χιλιετίες, η ημέρα ήταν πολύ μικρότερη από τις 24 ώρες -ή τα 86.400 δευτερόλεπτα- που έχουν παγιωθεί σήμερα. Σύμφωνα με μια μελέτη του 2023, η ημέρα στη Γη διαρκούσε περίπου 19 ώρες σε ένα σημαντικό μέρος της πρώιμης ιστορίας της Γης, λόγω της ισορροπίας μεταξύ των ηλιακών ατμοσφαιρικών παλιρροιών και των σεληνιακών ωκεάνιων παλιρροιών. Ωστόσο, με την πάροδο του βαθέος χρόνου, η ημέρα στη Γη σταθερά μεγάλωσε. Η βασική αιτία ήταν η παλιρροϊκή τριβή της Σελήνης – που προκαλείται από την κίνηση των ωκεανών και των θαλασσών λόγω των παλιρροϊκών δυνάμεων, και έχει ως αποτέλεσμα την επιβράδυνση της περιστροφής της Γης και την απομάκρυνση της Σελήνης. Από το 1973, οπότε ξεκίνησαν οι καταγραφές με την εφεύρεση του ατομικού ρολογιού, έως το 2020, η μικρότερη ημέρα που έχει καταγραφεί ποτέ ήταν 1,05 χιλιοστά του δευτερολέπτου μικρότερη από 24 ώρες, σύμφωνα με το Timeanddate.com. Αλλά από το 2020 και μετά, η Γη έχει καταρρίψει πολλάκις τα ρεκόρ ταχύτητάς της. Η συντομότερη ημέρα που μετρήθηκε ποτέ σημειώθηκε στις 5 Ιουλίου 2024, όταν η περιστροφή της Γης ολοκληρώθηκε 1,66 χιλιοστά του δευτερολέπτου ταχύτερα από το συνηθισμένο. σήμερα-η-γη-θα-ζήσει-μία-από-τις-μικρότε-563470144 Η Γη τη νύχτα από τον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό Ως προς το 2025, οι επιστήμονες προέβλεψαν ότι η 9η Ιουλίου, η 22η Ιουλίου και η 5η Αυγούστου θα είναι ενδεχομένως οι μικρότερες ημέρες του έτους. Ωστόσο, τα νέα δεδομένα δείχνουν ότι η 10η Ιουλίου πήρε την πρωτιά ως η μικρότερη ημέρα μέχρι στιγμής για το 2025, με χρόνο 1,36 χιλιοστά του δευτερολέπτου λιγότερο από 24 ώρες. Σήμερα, 22 Ιουλίου, η Γη αναμένεται να ολοκληρώσει την περιστροφή της 1,34 χιλιοστά του δευτερολέπτου νωρίτερα. Αν οι επιστημονικές προβλέψεις επιβεβαιωθούν, η 5η Αυγούστου θα είναι περίπου 1,25 χιλιοστά του δευτερολέπτου μικρότερη από το συνηθισμένο, δηλαδή κατά σειρά τρίτη μικρότερη μετά την 9η Ιουλίου και την 22α Ιουλίου. Πώς επηρεάζουν οι χρονικές αποκλίσεις την τεχνολογία Σύμφωνα με τους ειδικούς, μακροπρόθεσμα, οι αποκλίσεις αυτές μπορούν θα μπορούσαν να επηρεάσουν τους υπολογιστές, τους δορυφόρους και τις τηλεπικοινωνίες, γι’ αυτό και ακόμη και οι μικρότερες χρονικές αποκλίσεις παρακολουθούνται με ατομικά ρολόγια. σήμερα-η-γη-θα-ζήσει-μία-από-τις-μικρότε-563399080 Κοσμικό «ημερολόγιο» του 2025 – Οι εκλείψεις, το σέλας και οι υπερπανσέληνοι Μάλιστα, κάποιοι κάνουν λόγο για σενάριο απειλής παρόμοιο με το περιβόητο πρόβλημα Y2K (σ.σ.: που προέκυψε επειδή πολλοί παλιοί υπολογιστές χρησιμοποιούσαν μόνο δύο ψηφία για την καταγραφή ενός έτους (π.χ., «98» αντί για «1998», κάτι που αδυνατούσε να χειριστεί ημερομηνίες μετά το 2000), το οποίο απείλησε να σταματήσει τον σύγχρονο πολιτισμό. Πηγή: Space.com, CNN

physicsgg: Richard Feynman: Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης

physicsgg: Richard Feynman: Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης: (Μια ειδική διάλεξη – σχεδόν αυτολεξεί) Μια μέρα όταν ήμουν ακόμα μαθητής στο Λύκειο ο καθηγητής μου της Φυσικής – ο κ. Bader – με φώναξε μ...

** The Milky Way**

Φανταστικοί αριθμοί. Υπάρχουν στην πραγματικότητα ή μόνο στην φαντασία μας;

25 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ, 2022 - 18:02 Φανταστικός αριθμός είναι κάθε πολλαπλάσιο μιας ποσότητας που ονομάσθηκε i και ορίσθηκε από την ιδιότητά της να έχει τετράγωνο τον -1. Η ίδια αυτή ιδιότητα φαίνεται μυστηριώδης σε πολλούς ,καθώς είναι δύσκολο να φαντασθεί κανείς έναν αριθμό με αρνητικό τετράγωνο, κλίνουν λοιπόν στο να πιστέψουν πως ο αριθμός i δεν υπάρχει στην πραγματικότητα αλλά είναι μία βολική μαθηματική επινόηση. Αλλά δεν είναι έτσι : Οι φανταστικοί αριθμοί όντως υπάρχουν. Παρά το όνομα που έχουν δεν είναι καθόλου φανταστικοί (Το όνομά τους χρονολογείται από την πρώτη εισαγωγή τους πριν γίνει πράγματι κατανοητή η ύπαρξή τους. Εκείνη την εποχή φαντάζονταν πώς θα ήταν να έχουν ένα σύστημα αριθμών που θα περιείχε τις τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών , εξ ου και το όνομα “φανταστικοί”. Ενδεχομένως να έγινε γρήγορα αντιληπτό ότι ένα τέτοιο σύστημα αριθμών πράγματι υπάρχει, αλλά το όνομα – και όχι το μάτι – τους είχε βγει) Πριν συζητήσουμε το γιατί οι φανταστικοί αριθμοί υπάρχουν , είναι ίσως χρήσιμο να σταθούμε στο γιατί θέτουμε ένα τέτοιο ερώτημα. Γιατί είναι τόσο δύσκολο να δεχθούμε ότι μπορεί να υπάρχουν αριθμοί με αρνητικά τετράγωνα ή ότι έχει λύση η εξίσωσης x2 + 1 = 0 . Πολλοί βέβαια θα άκουσαν τον εξάψαλμο όταν «έλυναν» την εξίσωση x2 + 1 = 0 γράφοντας x =  1. Ίσως γι’ αυτό. Πρέπει πάντως πρώτα να συνδιαλαγεί κανείς με ό,τι φαίνεται να γεννά απορίες και σύγχυση, προτού κάνει το βήμα να αποδεχθεί την ύπαρξη των φανταστικών αριθμών. Αφού το κάνουμε αυτό θα μπορέσουμε να συνεχίσουμε για να δούμε γιατί υπάρχουν οι φανταστικοί και ποιους συσχετισμούς έχουν, πώς δηλαδή εντάσσονται στην όλη αντίληψή μας για τα μαθηματικά και σε τι είδους προβλήματα απαντούν . Ας εξετάσουμε λοιπόν μερικά ερωτήματα : Γιατί η ύπαρξη των φανταστικών αριθμών δεν είναι τόσο παράδοξη όσο φαίνεται; Φαίνεται δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι οι φανταστικοί θα μπορούσαν πράγματι να υπάρχουν. Το ζήτημα είναι τι εννοεί κανείς με τον όρο “ύπαρξη”. Στα μαθηματικά το εάν μια έννοια υπάρχει ή όχι μπορεί να εξαρτάται από τα συμφραζόμενα εντός των οποίων τίθεται η ερώτηση. Μιλώντας για αριθμούς μπορεί κανείς να έχει μεγάλη ποικιλία συμφραζομένων στο μυαλό του. Ιδού μερικά , τα πιο συνηθισμένα: Οι φυσικοί αριθμοί . Είναι οι αριθμοί 1,2,3,… που είναι πιθανές απαντήσεις στην ερώτηση «πόσα;». Οι φυσικοί είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν το μέγεθος συνόλων Οι ακέραιοι αριθμοί. Είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν όχι τα μεγέθη των συνόλων αλλά τα σχετικά μεγέθη δύο συνόλων. Απαντούν στην ερώτηση «πόσα παραπάνω από το Α έχει το Β;» Περιλαμβάνουν τους θετικούς (τα Α έχει παραπάνω από το Β) και τους αρνητικούς (το Β έχει παραπάνω από το Α) Οι ρητοί αριθμοί. Είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν λόγους των μεγεθών των συνόλων. Διαφέρουν από τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι περιγράφουν ευθέως μεγέθη συνόλων: Λέγοντας «έφαγα τα της πίτας» δεν σημαίνει ότι το σύνολο των πραγμάτων που έφαγες έχει στοιχεία , αλλά εκφράζεις τον λόγο δύο ακεραίων ποσοτήτων: 3 , η ποσότητα των τετάρτων της πίτας που έφαγες , προς το 4 , τον αριθμό των τετάρτων της πίτας που όλα μαζί μας κάνουν μια ολόκληρη πίτα . Οι πραγματικοί αριθμοί . Είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν μέτρα συνεχών ποσοτήτων όπως το μήκος , το βάρος, η ποσότητα ενός υγρού κλπ. (Ας μη μας ξεγελάει το όνομά τους. Δεν είναι περισσότερο “πραγματικοί” με την συνηθισμένη έννοια της λέξης από οποιοδήποτε άλλο είδος αριθμών.) Έννοιες που υπάρχουν σε ένα από αυτά τα συμφραζόμενα μπορεί να μην υπάρχουν στα άλλα. Η ερώτηση “υπάρχει αριθμός ανάμεσα στο 1 και στο 2;” έχει αρνητική απάντηση στην περίπτωση των φυσικών και των ακεραίων (δεν μπορούμε να φυτέψουμε περισσότερα από ένα και ταυτοχρόνως λιγότερα από δύο δέντρα) αλλά καταφατική στους ρητούς και στους πραγματικούς (μπορούμε κάλλιστα να φάμε 3 μισά της πίτας που ξεπερνούν τα δύο μισά που αποτελούν την 1 πίτα και υπολείπονται των τεσσάρων μισών που μας κάνουν δύο πίτες) . Αν και όταν βρισκόμαστε στο σύνολο των φυσικών ή των ακεραίων δεν υπάρχουν αριθμοί μεταξύ του 1 και του 2, δεν φαίνεται παράδοξο πώς τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν σε άλλα σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα μάλλον κανείς δεν δυσκολεύεται να αποδεχθεί την ύπαρξη του αριθμού . Γιατί τότε να είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι η έννοια του «αριθμού με τετράγωνο το -1» παρότι δεν υπάρχει σε κανένα από τα τέσσερα αριθμοσύνολα που αναφέραμε πιο πάνω , θα μπορούσε να υπάρχει σε ένα άλλο αριθμοσύνολο; Διότι συνήθως ξεχνάμε το γεγονός ότι έχουμε ήδη 4 διαφορετικές σημασίες της λέξης «αριθμός». Έχουμε τόσο εξοικειωθεί με αυτά τα αριθμοσύνολα που τα έχουμε συμψηφίσει στο μυαλό μας σαν να ήταν μία και μοναδική έννοια. Όταν συναντάμε την έννοια «αριθμός με τετράγωνο το -1» η οποία δεν υπάρχει σε κανένα από τα 4 αυτά αριθμοσύνολα, νομίζουμε ότι δεν μπορεί να υπάρξει πουθενά , διότι σκεφτόμαστε την λέξη «αριθμός» ως μία ενιαία έννοια που ενσωματώνει μόνο αυτές τις τέσσερις έννοιες : φυσικός – ακέραιος – ρητός – πραγματικός Θα έπρεπε μάλλον να σκεφτόμαστε ως εξής: «Ωραία, ξέρω για τέσσερα αριθμητικά συστήματα: ένα στο οποίο «αριθμός» σημαίνει μέτρηση του πόσα στοιχεία έχει ένα σύνολο, ένα άλλο όπου «αριθμός» σημαίνει σχετική μέτρηση του μεγέθους δύο συνόλων, ένα τρίτο όπου «αριθμός» σημαίνει τον λόγο των μεγεθών δύο συνόλων, και ένα τέταρτο όπου «αριθμός» σημαίνει μέτρηση μιας συνεχούς ποσότητας. Σε κανένα από αυτά τα αριθμοσύνολα η έννοια «αριθμός με τετράγωνο το -1» δεν υπάρχει . Μήπως υπάρχει ένα πέμπτο αριθμοσύνολο, ένα σύστημα αριθμών ( όπου «αριθμός» σημαίνει κάτι διαφορετικό από τα προηγούμενα 4) στο οποίο υπάρχει όντως η τετραγωνική ρίζα του -1 ;» Η απάντηση στην τελική αυτή ερώτηση είναι «ναι, υπάρχει». Ονομάζεται σύστημα των μιγαδικών αριθμών. Μάλιστα, παρά το ότι όπως αναμένεται θα επισυνάψει μια νέα σημασία στην λέξη αριθμός, διαφορετική από όσες έχουμε συνηθίσει , εντούτοις η διαφορά δεν είναι κατά βάθος μεγαλύτερη από την διαφορά μεταξύ των εννοιών «αριθμός των στοιχείων ενός συνόλου» (φυσικός αριθμός) και «λόγος των μεγεθών δύο συνόλων» (ρητός αριθμός). Με άλλα λόγια όσο διαφέρουν τα κλάσματα από τους ακεραίους άλλο τόσο διαφέρουν οι μιγαδικοί από τους πραγματικούς. Πώς μπορεί κανείς να δείξει ότι υπάρχουν πράγματι οι φανταστικοί αριθμοί; Με τον ίδιο τρόπο που θα έδειχνε ότι και τα κλάσματα υπάρχουν. Ας δούμε τον τρόπο με τον οποίο δείχνουμε ότι υπάρχουν τα κλάσματα. Βέβαια αυτό το ξέρετε ήδη και δεν περιμένετε να σας το αποδείξει κάποιος μαθηματικός συλλογισμός . Το ενδιαφέρον όμως είναι ότι μπορεί κανείς να ακολουθήσει τον ίδιο ακριβώς δρόμο για να δείξει ότι και οι φανταστικοί υπάρχουν. Διαπιστώνοντας σε ένα οικείο αριθμοσύνολο ,όπως οι ακέραιοι και οι ρητοί , ότι η διαδικασία αυτή είναι λογικά ορθή και ότι «δουλεύει» θα φανεί πιο εύκολο να γίνει αποδεκτή και σε ένα ανοίκειο αριθμοσύνολο όπως οι φανταστικοί αριθμοί. 2.1 Επιχειρηματολογία για την ύπαρξη των κλασμάτων Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε μόνο τους φυσικούς και έχουμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός “τρία δεύτερα” υπάρχει. Να αποδείξουμε δηλαδή ότι υπάρχει κάποιος αριθμός ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίνει 3 . Θα έπρεπε να προχωρήσουμε ως εξής : Βεβαίως, τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει ανάμεσα στους φυσικούς. Είναι όμως ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών μέσα στο οποίο υπάρχει αριθμός σαν αυτόν που ζητάμε Το σύστημα των ρητών αριθμών. Οι ” αριθμοί ” αυτού του νέου συστήματος αριθμών θα είναι τα κλάσματα, τα οποία είναι τελείως διαφορετικά αντικείμενα από τους φυσικούς αριθμούς ( δεν παριστάνουν μεγέθη συνόλων αλλά λόγους μεγεθών συνόλων) αλλά είναι το ίδιο πραγματικά με αυτούς. Υπάρχουν τα κλάσματα; Ναι . Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών; Ναι. Μέσα σε αυτό το σύστημα υπάρχει αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος επί 2 να δίνει 3; Ναι. Άρα τα “τρία δεύτερα” υπάρχουν. Εγκυρότητα του επιχειρήματος Για να δούμε γιατί οι απαντήσεις στα τρία παραπάνω ερωτήματα-κλειδιά είναι καταφατικές ας τα εξετάσουμε ένα – ένα από κοντά. Υπάρχουν τα κλάσματα; Ναι . Είναι απλώς διατεταγμένα ζεύγη φυσικών αριθμών. (Μένουμε στα θετικά κλάσματα για να κρατήσουμε τα πράγματα όσο πιο απλά γίνεται και για να αποφύγουμε την περιπλοκή του μηδενικού παρονομαστή). Προφανώς διατεταγμένα ζεύγη φυσικών υπάρχουν , άρα υπάρχουν και κλάσματα. Σημειώνουμε το ζεύγος (α , β) γράφοντας το πρώτο μέλος του ζεύγους πάνω από το δεύτερο: αντί (α,β) γράφουμε Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών; Ναι. Ένα σύστημα αριθμών είναι μια συλλογή αντικειμένων για την οποία : Υπάρχει ένας ορισμός για το τι σημαίνει δύο αντικείμενα να είναι ίσα Υπάρχουν κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μεταξύ των αντικειμένων αυτών (η αφαίρεση και η διαίρεση μπορούν να προκύψουν από αυτούς τους κανόνες με την προσθήκη αντιθέτων για όλα τα αντικείμενα και αντιστρόφων για μερικά από αυτά) Αυτοί οι κανόνες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν τις ιδιότητες της αριθμητικής : αντιμεταθετικότητα ( η σειρά των προσθετέων ή παραγόντων δεν παίζει ρόλο) προσεταιριστικότητα (σε διαδοχικές προσθέσεις ή πολλαπλασιασμούς δεν έχει σημασία η σειρά εκτέλεσης) και επιμεριστικότητα. Χονδρικά κάθε συλλογή αντικειμένων με αυτές τις ιδιότητες είναι εξ ορισμού ένα σύστημα αριθμών.(Για να είμαστε αυστηροί θα χρειαζόταν λίγο πιο ακριβής ορισμός των ιδιοτήτων αλλά η δουλειά μας θα γίνει) Οι ιδιότητες αυτές ικανοποιούνται από τα κλάσματα : Ισότητα: Κανόνας για πρόσθεση: Κανόνας για πολλαπλασιασμό : Οι ιδιότητες εύκολα διαπιστώνεται ότι ικανοποιούνται από τους κανόνες αυτούς, άρα πράγματι το σύνολο των κλασμάτων είναι ένα σύστημα αριθμών. Μέσα στο σύστημα αυτό υπάρχει αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίνει 3; Ναι. Το κλάσμα . Διπλασιαζόμενο δίνει το κλάσμα . Τώρα βέβαια το κλάσμα είναι κάτι διαφορετικό από τον φυσικό 3: είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος φυσικών και όχι ένας φυσικός. Αλλά όλα τα κλάσματα της μορφής συμπεριφέρονται κατά τρόπο πανομοιότυπο με τους φυσικούς α. Προστίθενται και πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και οι αντίστοιχοι φυσικοί:το /1 απλώς παρίσταται. Εφόσον οι αριθμοί είναι τελικά αφηρημένες έννοιες και εφόσον οι φυσικοί αριθμοί α και τα κλάσματα της μορφής είναι εντελώς ταυτόσημα όσο αφορά την αριθμητική τους συμπεριφορά, είναι απολύτως νόμιμο να τα βλέπουμε απλώς ως δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας υποκειμένης έννοιας. Έχοντας αυτό υπ’ όψιν μπορούμε να θεωρούμε το κλάσμα (τον λόγο 3 προς 1) και το φυσικό αριθμό 3 ως το ίδιο πράγμα, και αυτό το τελευταίο μας δίνει το δικαίωμα να λέμε ότι το διπλασιαζόμενο δίνει 3. Εδώ ολοκληρώνεται το επιχείρημα για την ύπαρξη του . Βέβαια αυτό ήταν ήδη γνωστό σε όλους όσοι έλαβαν στοιχειώδη έστω , παιδεία. Η αξία του επιχειρήματος όπως εκτέθηκε , είναι πώς μπορεί να μεταφερθεί στην περίπτωση των φανταστικών και να αποδείξει την ύπαρξή τους. Το επιχείρημα ότι οι φανταστικοί αριθμοί υπάρχουν θα ακολουθήσει , σχεδόν λέξη προς λέξη όμοιο με το προηγούμενο επιχείρημα πως τα κλάσματα υπάρχουν. Εάν το επιχείρημα είναι όπως δείξαμε έγκυρο θα μας οδηγήσει με πειστικότερο τρόπο στην αποδοχή των φανταστικών αριθμών. 2.3 Επιχειρηματολογία για την ύπαρξη των φανταστικών Θα ακολουθήσουμε κατά πόδας την προηγούμενη επιχειρηματολογία για τα κλάσματα. Θα ήταν ίσως χρήσιμο να τις αντιπαρέβαλε κανείς δίπλα – δίπλα . Το ζήτημα είναι η ύπαρξη της μυστηριώδους ποσότητας i μια και οι φανταστικοί είναι απλώς πολλαπλάσιά της. Με αλλά λόγια ζητάμε να δούμε ότι υπάρχει κάποιος αριθμός που το τετράγωνό του δίνει -1. Ιδού το επιχείρημα: Βεβαίως, τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει μέσα σε κανένα από τα 4 συνήθη συστήματα αριθμών(Φυσικοί , Ακέραιοι , Ρητοί , Πραγματικοί.) Είναι όμως ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών μέσα στο οποίο υπάρχει αριθμός σαν αυτόν που ζητάμε : Το σύστημα των μιγαδικών αριθμών. Οι “αριθμοί ” αυτού του νέου συστήματος αριθμών είναι τελείως διαφορετικά αντικείμενα από τους συνήθεις πραγματικούς αριθμούς ( θα ορισθούν ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών) αλλά είναι το ίδιο πραγματικά με αυτούς. Υπάρχουν οι μιγαδικοί; Ναι . Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών; Ναι. Μέσα σε αυτό το σύστημα υπάρχει αριθμός που έχει τετράγωνο το -1; Ναι. Άρα ο i υπάρχει. 2.4 Εγκυρότητα του επιχειρήματος Για να δούμε γιατί οι απαντήσεις στα τρία παραπάνω ερωτήματα-κλειδιά είναι καταφατικές ας τα εξετάσουμε ένα – ένα από κοντά. Υπάρχουν οι μιγαδικοί αριθμοί; Ναι . Είναι απλώς διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί όντως υπάρχουν άρα και τα διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών όντως υπάρχουν. Αποτελούν πράγματι ένα σύστημα αριθμών; Ναι. Αρκεί να θυμηθούμε ότι κάθε συλλογή αντικειμένων για την οποία : Υπάρχει ένας ορισμός για το τι είναι τα αντικείμενα και πότε δύο αντικείμενα είναι ίσα Υπάρχουν κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μεταξύ των αντικειμένων αυτών Αυτοί οι κανόνες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν τις ιδιότητες της αριθμητικής : αντιμεταθετικότητα προσεταιριστικότητα και επιμεριστικότητα είναι εξ ορισμού ένα σύστημα αριθμών. Οι μιγαδικοί ικανοποιούν τις ιδιότητες αυτές : Ισότητα: Δύο μιγαδικοί θα είναι ίσοι εάν και μόνο εάν είναι ακριβώς το ίδιο διατεταγμένο ζεύγος : (α , β) = (γ , δ)  {α = γ και β = δ } Κανόνας για πρόσθεση: (α , β) + (γ , δ) = (α+γ , β+δ) Κανόνας για πολλαπλασιασμό : (α , β)(γ , δ) = ( αγ-βδ , αδ+βγ). Ο τελευταίος αυτός κανόνας ίσως φαίνεται πολύ παράξενος αλλά φαντασθείτε πώς θα φαινόταν ο ορισμός της πρόσθεσης των κλασμάτων όπως τον δώσαμε προηγουμένως σε κάποιον που θα έπεφτε απάνω του χωρίς να ξέρει τίποτα για ομώνυμα κλάσματα Οι ιδιότητες εύκολα διαπιστώνεται ότι ικανοποιούνται από τους κανόνες αυτούς, άρα πράγματι το σύνολο των κλασμάτων είναι ένα σύστημα αριθμών. Μέσα στο σύστημα αυτό υπάρχει αριθμός που έχει τετράγωνο το -1; Ναι. Το διατεταγμένο ζεύγος (0 , 1). Τετραγωνιζόμενο δίνει : (0 , 1)(0 , 1) = (00 – 11 , 01 + 01) = = (-1 , 0). Τώρα βέβαια ο μιγαδικός (-1 , 0) είναι κάτι διαφορετικό από τον πραγματικό -1: είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών και όχι ένας πραγματικός. Αλλά όλοι οι μιγαδικοί της μορφής (α , 0) συμπεριφέρονται κατά τρόπο πανομοιότυπο με τους πραγματικούς α. Προστίθενται και πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και οι αντίστοιχοι πραγματικοί: (α ,0)+(β , 0) = (α+β , 0) (α ,0)(β , 0) = (αβ , 0) Το « ,0) » απλώς παρίσταται. Εφόσον οι αριθμοί είναι τελικά αφηρημένες έννοιες και εφόσον οι πραγματικοί αριθμοί α και οι μιγαδικοί της μορφής (α , 0) είναι εντελώς ταυτόσημοι όσο αφορά την αριθμητική τους συμπεριφορά , είναι απολύτως νόμιμο να τα βλέπουμε απλώς ως δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας υποκειμένης έννοιας. Έχοντας αυτό υπ’ όψιν μπορούμε να θεωρούμε τον μιγαδικό (-1 , 0) και τον πραγματικό αριθμό -1 ως το ίδιο πράγμα, και αυτό το τελευταίο μας δίνει το δικαίωμα να λέμε ότι ο (0 , 1) τετραγωνιζόμενος δίνει -1. Επομένως ο i υπάρχει είναι δε το διατεταγμένο ζεύγος (0 , 1) υπό τους κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που ορίσαμε προηγουμένως . Τι σχέση έχουν οι φανταστικοί αριθμοί με την «πραγματικότητα» ; Μέχρι εδώ καλά. Είδαμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί υπάρχουν . Υπάρχουν όμως σε ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών από τα αριθμητικά συστήματα με τα οποία είμαστε εξοικειωμένοι. Οι «μιγαδικοί αριθμοί» που αποτελούν αυτό το σύστημα αριθμών είναι διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών, μπορούν να λέγονται λοιπόν αριθμοί από μόνοι τους; Κατ’ αρχήν ας θυμηθούμε τα κλάσματα : και αυτά ήταν διατεταγμένα ζεύγη αριθμών. Και ως προς αυτά δεν γεννάται ζήτημα εάν από μόνα τους θα μπορούσαν να χαρακτηρίζονται αριθμοί , μια και μπορούν να μετρούν το «πόσο» σε ορισμένα συμφραζόμενα (όπως πχ. έφαγα τα 3 τέταρτα της πίτας). Έτσι το δικαίωμα των κλασμάτων να θεωρούνται αριθμοί παρά το ότι είναι διατεταγμένα ζεύγη αριθμών είναι αυτονόητο. Το γεγονός όμως είναι ότι οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν πολύ λιγότερους άμεσους συσχετισμούς με τον «πραγματικό κόσμο» από τους αριθμούς των άλλων αριθμητικών συστημάτων. Ένας φανταστικός αριθμός δεν θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την μέτρηση του πόσο νερό έχει το μπουκάλι ή πόσο μακριά πήγε η πέτρα που πέταξα. Υπάρχουν όμως μερικές ποσότητες που περιγράφονται κατά φυσικό τρόπο από τους μιγαδικούς αριθμούς. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η ένταση ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Το πεδίο έχει μία μαγνητική και μία ηλεκτρική συνιστώσα και σε κάθε σημείο του αντιστοιχούν δύο πραγματικοί αριθμοί (ένας για την ένταση του ηλεκτρικού και ένας για την επαγωγή (=ένταση) του μαγνητικού πεδίου). Το ζεύγος αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μιγαδικός και μάλιστα ο περίεργος κανόνας του πολλαπλασιασμού συσχετίζεται με φυσικές ιδιότητες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Παρότι όμως οι άμεσες εφαρμογές των μιγαδικών αριθμών δεν είναι πολλές , οι έμμεσες εφαρμογές τους είναι πολλές. Πολλές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών ξεκαθαρίζονται εάν θεωρηθούν ως υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών. Οι μιγαδικοί ρίχνουν φως σε πράγματα τα οποία περιγράφονται με τους συνήθεις πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα η ανίσωση |z| < 2 στο σύνολο των μιγαδικών είναι τα εσωτερικά σημεία ενός κύκλου, ενώ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τα εσωτερικά σημεία ενός ευθυγράμμου τμήματος. Αυτή η συσχέτιση μας επιτρέπει να υποψιαστούμε ότι τελικώς δύο φαινομενικά διαφορετικές έννοιες όπως τις μάθαμε στην γεωμετρία μπορούν να έχουν κοινές ιδιότητες , να είναι δηλαδή ειδικές περιπτώσεις μιας γενικότερης έννοιας . Και πράγματι τέτοιου είδους σύνολα όπως αυτά που περιγράφει η ανίσωση |z| < 2 λέγονται ανοικτές σφαίρες και παίζουν κεντρικό ρόλο στην Τοπολογία . Η περίπτωση της σχέσης των πραγματικών με τους μιγαδικούς είναι πιο στενή : Μοιάζει με την σχέση της σκιάς προς το αντικείμενο. Η σκιά υπάρχει στον δισδιάστατο κόσμο και μόνο δισδιάστατες έννοιες μπορούν να έχουν άμεση εφαρμογή στην σκιά. Όμως σκεφτόμενοι το τρισδιάστατο αντικείμενο που ρίχνει την σκιά μπορούμε να ερμηνεύσουμε με καλύτερα το σχήμα της παρά το ότι τρισδιάστατες έννοιες δεν έχουν άμεση εφαρμογή στον δισδιάστατο κόσμο της σκιάς. Παρομοίως οι μιγαδικοί μπορεί να μην εφαρμόζονται αμέσως στις μετρήσεις του “πραγματικού κόσμου” όπου τον λόγο έχουν οι πραγματικοί αριθμοί αλλά μπορούν να κάνουν τα πράγματα εναργέστερα . Άλλη μία αναλογία : Το χωριό Α έχει 250 κατοίκους εκ των οποίων 50 παιδιά Το χωριό Β έχει 1250 κατοίκους εκ των οποίων 200 παιδιά. Στο χωριό Α επομένως η αναλογία παιδιών προς τον συνολικό πληθυσμό είναι 50/250 = 0,2 ενώ στο χωριό Β είναι 200/1250 = 0,16, άρα το χωριό Α έχει νεανικότερο πληθυσμό από το Β. Αυτός ο συλλογισμός χρησιμοποίησε κλάσματα σε ένα πρόβλημα με το οποίο τα κλάσματα δεν θα έβρισκαν φυσικό συσχετισμό. Δεν έχει νόημα η έκφραση «άνθρωποι». Οι φυσικοί είναι οι αριθμοί που έχουν φυσικό συσχετισμό με τέτοιου είδους συμφραζόμενα και τα κλάσματα είναι κάτι ξένο , όπως κάτι ξένο προς τις μετρήσεις των πραγματικών αποτελούν και οι μιγαδικοί. Εντούτοις ευρισκόμενοι στο υπερσύνολο των ρητών αριθμών μπορέσαμε να συναγάγουμε μία ενδιαφέρουσα πληροφορία για τους πληθυσμούς των δύο χωριών παρά το ότι οι μετρήσεις στον κόσμο των πληθυσμών μπορούν να συσχετισθούν μόνο με τους φυσικούς αριθμούς. Κατά τον ίδιο τρόπο σκεπτόμενοι στο υπερσύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορούμε να συναγάγουμε συμπεράσματα για τον πραγματικό κόσμο ακόμη κι αν οι μετρήσεις του πραγματικού κόσμου συσχετίζονται μόνο με πραγματικούς αριθμούς: Ιδού 2 παραδείγματα : Παραγοντοποιείται το πολυώνυμο x4 + 1 ; Το πολυώνυμο δεν έχει καμία πραγματική ρίζα. Εάν όμως το θεωρήσουμε ως πολυώνυμο του έχει τέσσερις και γράφουμε Στις εφαρμογές της μηχανικής συχνά εμφανίζονται (διαφορικές) εξισώσεις ( y είναι μία άγνωστη πραγματική συνάρτηση ) της μορφής αy΄΄ + βy΄ + γy = 0. Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση έχει λύσεις που μπορεί να υπολογισθούν εάν επιλυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση αx2 + βx + γ = 0. Στο σύνολο των πραγματικών όμως η τελευταία δεν έχει πάντοτε λύσεις ενώ έχει σίγουρα δύο (ή μία διπλή) στο σύνολο των μιγαδικών. Να λοιπόν άλλη μία κατάσταση που οι μιγαδικοί μας επιτρέπουν να επιλύσουμε ένα πρόβλημα πραγματικών αριθμών. Δεν είναι όντως μία καλή ιδέα να δούμε το σύνολο των μιγαδικών από κοντά; Πηγή: http://users.sch.gr/pnomikos/complex/complex.html

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΨΕΒ 2015-2022 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ...

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιλογή θεμάτων: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΨΕΒ 2015-2022 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ...:           2015-16                2016-17                          2017-18                2018-19               2019-20               2020-...